こんにちは。中学受験算数ナビゲーターの滝澤です。
前回は、図形問題の中でも紙を折る問題を紹介しました。
今回は、中学受験の算数では最頻出ともいうべき「相似と面積比の問題」です。
相似ってなに？
相似な図形とは、簡単に言えば「拡大コピー・縮小コピーの関係にある２つの図形」のことです。
この拡大・縮小率にあたる辺の長さの比のことを、相似比といいます。相似な２つの三角形を見つけて、相似比を考えることがこのような問題を解く王道です。
相似な三角形は、角度がそれぞれ同じという特徴があります。
拡大コピーをして角度が変わっちゃったら困りますよね。
王道の解法パターンの習得が大事
相似と面積比の問題は基本的な解法パターンがあって、それをしっかり練習していればある程度正解することができます。おおまかに言えば、
- 相似な２つの三角形の組を見つける。
- ２つの三角形の対応する辺の比を問題から読み取る。
- 対応する辺の比はそれぞれ等しいことを利用して、他の辺の比を計算する。
の３ステップが重要です。
王道の解法パターンをしっかり学習することは確かに大切です。ここを避けては通れませんが、問題によっては、このような解法の知識を知らなくても図の描き方を工夫することで答えを導き出すこともできます。
2022年の海城中学の入試問題を例にとってご紹介しましょう。
問題です。/海城中学（2022年、大問２）
下の図のように，平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢを１：２に分ける点をＥ，辺ＣＤを１：２に分ける点をＦとし，辺ＢＣと辺ＤＡの真ん中の点をそれぞれＧ，Ｈとします。また，ＢＨとＣＥが交わる点をＩ，ＣＥとＤＧが交わる点をＪ，ＤＧとＡＦが交わる点をＫ，ＡＦとＢＨが交わる点をＬとします。次の問いに答えなさい。
(1) ＢＩ；ＩＬ：ＬＨを最も簡単な整数の比で答えなさい。
(2) 平行四辺形ＡＢＣＤと四角形ＩＪＫＬの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
(3) 平行四辺形ＡＢＣＤと四角形ＡＥＩＬの最も簡単な整数の比で答えなさい。
まずは王道の解き方をしてみましょう。
王道の解き方とは、相似な三角形の組を探して相似比を考えるのでしたね。
(1) 三角形ＡＢＬと三角形ＥＢＩが相似で相似比が３：２ですから、ＢＩ：ＩＬ＝２：１
また、三角形ＢＣＩと三角形ＧＣＪが相似で相似比が２：１ですから、ＢＩ：ＣＪ＝２：１
さらに、三角形ＡＬＨと三角形ＣＪＧは合同ですから、ＧＪ＝ＬＨになります。
よって、ＢＩ；ＩＬ：ＬＨ＝２：１：１です。
(2) まず、HとGはそれぞれ辺のまん中の点ですから、平行四辺形ＨＢＧＤは平行四辺形ＡＢＣＤの半分の面積ですね。
ここで、台形ＢＧＪＩと平行四辺形ＩＪＫＬと台形ＬＫＤＨはすべて高さが同じですから、面積比は「上底＋下底」の比になります。
（平行四辺形も台形の１種ですから、台形と同じ公式で面積を求めることができます）
(1)より、ＢＩ；ＩＬ：ＬＨ＝２：１：１で、同様に、ＤＫ：ＪＪ：＝２：１：１になりますから、
台形ＢＧＪＩ：平行四辺形ＩＪＫＬ：台形ＬＫＤＨ＝２＋１：１＋１：１＋２＝３：２：３
となり、平行四辺形ＩＪＫＬは平行四辺形ＨＢＧＤの４分の１になります。
平行四辺形ＨＢＧＤは平行四辺形ＡＢＣＤの半分の面積ですから、平行四辺形ＡＢＣＤと四角形ＩＪＫＬの面積の比は８：１ですね。
(3) ＡＬ：ＬＫ：ＫＦについて、(1)と同様に比を求めます。すると３：３：２になります。
また，ＥＩ：ＩＪ：ＪＣ＝２：３：３になりますね。
四角形ＡＥＩＬと四角形ＩＪＫＬは高さが等しいので，面積比は上底＋下底の比となり、
３＋２：３＋３＝５：６となります。(2)より平行四辺形ＡＢＣＤと四角形ＩＪＫＬの面積の比は８：１ですから、平行四辺形ＡＢＣＤと四角形ＡＥＩＬの比は48：５になります。
とここまでが基本的な解き方となります。
基本的ですけれど簡単ではありませんよね。意外と手順も多いし、比がこんがらがりそうです。
もっと簡単な解き方はないのか？と考えよう。
問題が解けたら、うれしくてそれで終わりにしたいところですが、「別の解き方はないのかな？もっといい方法はないのかな？」と考える習慣がつくと、もう一段階上のレベルを目指せます。そしてそれが算数の面白さでもあると思うのです。
というわけでせっかくですから、裏技をお教えしましょう。
ここからが相似をつかわない裏ワザ
この問題の特徴は平行四辺形であることと、辺の比だけが定まっていることですね。
つまり、角度や辺の長さなどは自由に作図して考えても答えは出せるということです。
そこで1辺1cmの方眼紙にこの図をわかりやすく作図してみましょう。
ＡＦとＢＨは直角に交わり、辺ＡＤに対して45°になるように作図すると下のようになります。
四角形ＩＪＫＬは対角線が3cmの正方形になりますね。
これを見ると、この問題は解きやすくなります。
(1)はＢＩが1辺1cmの正方形の対角線３個分、ＩＬとＬＧはともに正方形の対角線1.5個分だから
長さの比は２：１：１
(2)は平行四辺形ＡＢＣＤの面積は底辺が6cmで高さも6cmですから６×６＝36で、四角形ＩＪＫＬは正方形で、対角線×対角線÷２を使うと３×３÷２＝4.5だから面積の比は８：１
(3)は四角形ＡＥＩＬの面積は三角形ＡＥＩが3×１÷２＝1.5、三角形ＡＩＬは正方形ＡＩＫＧの４分の１ですから３×３÷４＝2.25なので、合計3.75となり、平行四辺形ＡＢＣＤの面積は36だったから、面積の比は、36：3.75＝48：５
いかがでしたか。
平面図形は描き方を工夫すれば簡単に解ける
相似と面積比の問題なのですが、図形を上手に描くことができれば、相似という知識を一切つかわなくても、三角形と四角形の面積の求め方を使ってこの問題を解くことができますね。
図形の問題を簡単に解くために必要な力は、実はどのように描けば解きやすいのかを工夫することなのです。
問題に描かれている与えられた図にただ線や数字を書き込むだけでなく、新たに解きやすく図を描くようにするともっともっと平面図形の問題が簡単に楽しく解くことができるかもしれません。
次回は暦の問題の裏ワザを紹介します。
図形の問題が続きましたので、次回は暦の問題をとりあげます。
奈良の名門・東大寺学園の2019年の問題です。どんな裏ワザが飛び出るのか、お楽しみに。
【問題】
西暦X年のカレンダーについて調べました。以下，〇/△で〇月△日を表すものとします。
(1) 西暦X年の2/1と8/1の曜日が同じでした。このとき，西暦X年の2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，7/1，8/1，9/1，10/1，11/1，12/1の11日の中で，西暦X年の1/1と曜日が同じ日付を〇/△の形ですべて答えなさい。
(2) 西暦Ｘ年の６月のすべての水曜日の日にちの合計は65以下でした。このとき西暦Ｘ年の6/1の曜日として考えられるものをすべて答えなさい。
(3) (1)(2)のとき，さらに西暦Ｘ年の10月のすべての月曜日の日にちの合計は70以上でした。西暦Ｘ年の1/1は何曜日ですか
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