こんにちは。中学受験算数ナビゲーターの滝澤です。
前回は平面図形の裏ワザについて書きましたが、今回は暦の問題です。
中学受験算数では、「日暦算」などと呼ばれたりします。
周期算の応用問題として学習することが多いでしょうか。
進みの早い進学塾等では小４の１学期のカリキュラムに組み込まれています。
ですが、苦手としている生徒も多く、特に次のような例題は最も基本的な問題の１つですが、小６になっても正答率が高いとはいえません。
例題に挑戦してみよう
ある年の８月５日が金曜日であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)この年の10月10日は何曜日ですか
(2)この年の３月30日は何曜日ですか。
解説
解き方はいくつかありますが、基本はしっかりおさえておきましょう。
- ８月５日を１日目だと考えます。（１日目であることが重要です。１日後ではない。）
- 求める日付が何日目か？を考えます（何日間か？と同じ意味です。何日後か？ではない）
- 曜日の並びを７つの周期であると考え、１周期分の曜日を確認します。
- ③の日数を７でわった余りについて、何曜日にあたるのかを考えます。
ではやってみましょう。
(1) まず10月10日は８月1日を１日目として数えてみると，８月＋９月と10月10日までなので、
31＋30＋10＝71日目です。
よって、８月５日を１日目として数えてみると71－５＋１＝67日目です。
※ここで１をたしわすれるミスが頻発します。気をつけましょう。
たとえば、１月５日は１月１日の４日後ですが、１月１日から数えて５日目ですよね。
次に曜日の並びは、１日目が金曜日ですから、周期は金土日月火水木です。
67÷７＝９あまり4ですから、金土日月となり、10月10日は月曜日です
(2) (1)と似た問題に見えますが、過去にさかのぼって考えなければいけないので、
曜日の周期が逆順になることに注意が必要です。
まず３月１日は８月５日を１日目として数えてみると、３月＋４月＋５月＋６月＋７月と８月５日まで
なので、31＋30＋31＋30＋31＋5＝158日目です。
よって、3月30日は８月５日から数えて 158－30＋1＝129日目となります。（＋１を忘れないように）
次に曜日の並びは、過去にさかのぼりますから、金木水火月日土です。
129÷７＝18あまり３ですから、金木水となり、３月30日は水曜日です
いかがですか。意外と入試でも出題されることが多いですからしっかり確認しておきましょう。
ここで１つ裏ワザを紹介しておきましょう。
Ａ ３月3日と5月５日と７月７日は曜日が同じ
Ｂ ４月４日と６月６日と８月８日と10月10日と12月12日は曜日が同じ
※ＡとＢは別の曜日です
これを知っておくと実はこの例題は一瞬で解けます。
(1) ８月５日が金曜日なので、８月８日は、５金６土７日８月と数えて月曜日。
よって10月10日も月曜日
(2) (1)から４月４日も月曜日、その１週間前は３月28日で月曜日。よって3月30日は水曜日
うまく裏ワザを使えるとかなり楽になりますね。
さて、では暦の問題を使った入試問題の紹介です。奈良の名門中学東大寺学園 2019年の問題です。
問題です。/東大寺学園（2019年、大問2）
西暦X年のカレンダーについて調べました。以下、〇/△で〇月△日を表すものとします。
(1) 西暦X年の2/1と8/1の曜日が同じでした。このとき、西暦X年の2/1、3/1、4/1、5/1、6/1、7/1、8/1、9/1、10/1、11/1、12/1の11日の中で、西暦X年の1/1と曜日が同じ日付を〇/△の形ですべて答えなさい。
(2) 西暦Ｘ年の６月のすべての水曜日の日にちの合計は65以下でした。このとき西暦Ｘ年の6/1の曜日として考えられるものをすべて答えなさい。
(3) (1)(2)のとき、さらに西暦Ｘ年の10月のすべての月曜日の日にちの合計は70以上でした。
①西暦Ｘ年の1/1は何曜日ですか。
②西暦Ｘ年の翌年の1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、6/1、7/1、8/1、9/1、10/1、11/1、12/1の12日の曜日の中で、最も多くあるのは何曜日ですか。
解説
まずはオーソドックスな解き方を理解しましょう。
(1) さて、西暦Ｘ年の問題ですが、１年は何日間ですか？これはもちろん、365日である年と366日である年がありますよね。それぞれ平年とうるう年とよばれます。まずはこの西暦Ｘ年がどちらなのかを考えなければなりません。それが「2/1と8/1の曜日が同じでした」という文章がある意味ですね。曜日が同じであるということは、2/1から8/1までの日数（何日間か）が7でわって1余る日数であるということになります。（7の倍数ではないですよ。1日目と8日目と15日目……が同じ曜日なのです。）
まず西暦Ｘ年が平年であるとすると、2/1から8/1までは、28＋31＋30＋31＋30＋31＋1＝182日間あります。182÷7＝26 なので、同じ曜日にはなりません。
よって西暦Ｘ年はうるう年ということになります。2月が29日まであるということですね。
あとは、2/1、3/1、4/1、5/1、6/1、7/1、8/1、9/1、10/1、11/1、12/1が1/1から数えて何日目かを考え、
7でわって1余れば同じ曜日であるということになります。
2/1は31＋1＝32日目、3/1は31＋29＋1＝61日目、……以下その前月の日数をたしてやればよいですね。何日目かに加えて、これを7でわった余りも含めて表にまとめると
| 1/1 | 2/1 | 3/1 | 4/1 | 5/1 | 6/1 |
| 1日目 | 32日目 | 61日目 | 92日目 | 122日目 | 153日目 |
| 余り1 | 余り4 | 余り5 | 余り1 | 余り3 | 余り6 |
| 7/1 | 8/1 | 9/1 | 10/1 | 11/1 | 12/1 |
| 183日目 | 214日目 | 245日目 | 275日目 | 306日目 | 336日目 |
| 余り1 | 余り4 | 余り0 | 余り2 | 余り5 | 余り0 |
となります。1/1と同様に余り１になっているのは4/1と7/1。よって答えは4/1と7/1ですね
(2) 6月は30日までありますから、水曜日の日にちの合計として考えられるものは、
1日が水曜日であるとすると、1＋8＋15＋22＋29＝75 となります。
2日が水曜日であるとすると、2＋9＋16＋23＋30＝80
3日が水曜日であるとすると、3＋10＋17＋24＝54 このとき6/1は月曜日
このあとは、水曜日はすべて4回ですから、日にちの合計は4ずつ増えます。
4日が水曜日であるとすると、54＋4＝58 このとき6/1は日曜日
5日が水曜日であるとすると、58＋4＝62 このとき6/1は土曜日
これ以降は、日にちの合計が65を越えてしまいます。よって、土曜日、日曜日、月曜日です。
(3) ① 10月は31日までありますから、月曜日の日にちの合計として考えられるものは、
10月1日が月曜日であるとすると、1＋8＋15＋22＋29＝75日
10月2日、3日が月曜日であるとすると、それぞれ5ずつたして、80日と85日です。
10月4日が月曜日であるとすると、4＋11＋18＋25＝58日
10月5日、6日、7日が月曜日であるとすると、それぞれ4ずつたして、62日、66日、70日です。
よって、月曜日の日にちの合計が70以上であるのは、10月1日、2日、3日、7日が月曜日であるときで、それぞれ10月1日は月曜日、日曜日、土曜日、火曜日となります。
つまりこの西暦Ｘ年は、6月1日が土曜日か日曜日か月曜日で、10月1日が土曜日か日曜日か月曜日か火曜日ということになります。
ここで(1)の表によって、1月1日、6月1日、10月1日だけをピックアップすると、次のようになりますね。
| 1/1 | 6/1 | 10/1 |
| 1日目 | 153日目 | 275日目 |
| 余り1 | 余り6 | 余り2 |
6月1日と10月1日は曜日が4つずれていることがわかります。
西暦Ｘ年の6月1日が土曜日なら10月1日は火曜日←ＯＫ
西暦Ｘ年の6月1日が日曜日なら10月1日は水曜日←不適
西暦Ｘ年の6月1日が月曜日なら10月1日は木曜日←不適
よって、西暦Ｘ年の6月1日が土曜日、10月1日が火曜日となり、このとき答えである1月1日は月曜日となります。
② 西暦Ｘ年はうるう年でしたから、西暦Ｘ年の翌年の1月1日は367日目となり、367÷7＝52 あまり3 なので、月、火、水で、翌年の1月1日は水曜日となります。この年は平年ですから、 2月29日がなくなることに注意して(1)と同じように表をつくります。
| 1/1 | 2/1 | 3/1 | 4/1 | 5/1 | 6/1 |
| 1日目 | 32日目 | 60日目 | 91日目 | 121日目 | 152日目 |
| 余り1 | 余り4 | 余り4 | 余り0 | 余り2 | 余り5 |
| 7/1 | 8/1 | 9/1 | 10/1 | 11/1 | 12/1 |
| 182日目 | 213日目 | 244日目 | 274日目 | 305日目 | 335日目 |
| 余り0 | 余り3 | 余り6 | 余り1 | 余り4 | 余り6 |
これを見ると、余り4であることが2月、3月、11月と最も多くなり、1/1が余り1で水曜ですから、余り4は土曜日となり、答えは土曜日となります。
解説は以上ですが、まあ、面倒ですよね。ここで裏ワザの登場です。
各月の１日における「曜日のずれ」を覚える裏ワザ
平年の場合、1月1日の曜日を0として、各月の1日の曜日が何個ずれるかを表にすると、次のようになります。
| 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 |
| 0 | 3 | 3 | 6 | 1 | 4 |
| 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 |
| 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 |
この、0、3、3、6、1、4、6、2、5、0、3、5を語呂合わせで覚えてしまおうというのが裏ワザです。
０ ３ ３６１４６２５ ０ ３ ５
おっさん さむいしろにゴー！おっさんゴー！
となります。
うるう年であれば、3月以降が1ずつたされますので、
0、3、4、0、2、5、0、3、6、1、4、6となり、
０ ３ ４０ ２５０ ３６１４６
おっさん よれ！にごれ！さむいしろ
となります。
覚えておくと2月と8月の1日の曜日が同じなのはうるう年であるとすぐわかりますから、(1)は、あっという間に1/1と同じ曜日は4/1と6/1と答えられます。
(2)と(3)①はていねいに考えなければなりませんが、西暦Ｘ年の1月1日が月曜日だとわかり、翌年が平年であることがわかれば、0、3、3、6、1、4、6、2、5、0、3、5の中で最も多いのは3で、
翌年の1月1日はうるう年なので月曜日から2つずれて水曜日ですから、0が水曜となり、3は土曜日となります。
やり方がわかっていても面倒なものは、覚えてしまえ
これは鉄則です。さらにいうと
語呂合わせはくだらない方がおぼえやすい
ことも知っておくといいと思います。いろいろ作ってみると楽しいですよ。
さて次回ですが、表現力についての問題です。
私はマスチャンネルで「表現力ゼミ」という講座を担当しているのですが、2022年の早稲田実業中学の問題で衝撃的な出題がありました。この問題について記事にしていきたいと思います。お楽しみに
早稲田実業 2022年大問２(2)
ある算数の問題を、Ａ君は次のように解きました。
(問) ５時から６時の間で、時計の長針と短針のつくる角が直角になるのは２回あります。１回目は５時何分ですか
(式) $60×\frac{2}{11}＝10\frac{10}{11}$
(答) $5時\frac{10}{11}分$
Ａ君のたてた(式)の中の「60」と「$\frac{2}{11}$」がそれぞれ何を意味しているのかがわかるように(式)の説明をしなさい。
