中学受験入試では出題されないかもしれない!?ちょっとマニアックな「2026」にまつわる問題を作ってみた！

あけましておめでとうございます。中学受験算数ナビゲーターの滝澤です。

先日math channel magazineで中学受験入試でよく出題される西暦に関する問題の記事を書きました。

さらに、記事だけではなく、2026にまつわる問題の動画も撮ろうということになり、また新たに2026についての問題を考えていたところ、こんな動画に出会いました。

こちらは大学受験で出題されるかもしれない問題でしたが、調べ上げる時間がかかりすぎる点で、中学受験で出題される入試問題としては適さないかもしれません。
しかし、この問題のアプローチの方法は小学生でも理解できるし、楽しめるのではないかと思いました。

「これを中学受験で出題するとしたら……」

と思って追加で１問作って、動画で紹介しています。こちらもぜひご覧ください。

ただ、やはり動画だと詳しく説明するのがまどろっこしくなりすぎてしまったので、この記事でていねいに解説していきたいと思います。

小５の生徒が５分で解けた問題がこちら！

あとでお話しますが、実はこの問題の(3)を５分ほどで正解した小学５年生もいます。
やってみようと思う方は解説を見る前にチャレンジしてみてください。

この問題のポイント

この問題はジャンルでいうと、数の性質にあたります。
数の性質の問題を解く際に、大切なアプローチとして、数を倍数・剰余によって分類するという方法があります。これは大学入試の問題でもよく使われる手法です。
ですから元々この問題は大学入試用であると言えるでしょう。この問題を中学受験でも出題できるようにいかにアレンジしているか、というと３点あります。

これによって、かなり短い時間で正解に到達することができるようになったはずです。
では、実際に解説をしていきましょう。

(1)　偶数の個数を考えよう

まずは、場合分けをして考えてみましょう。

ア、イ、ウのうち、偶数は、０個、１個、２個、３個のいずれかです。
ですので、場合分けをして考えていきます。

①　偶数が０個の場合
ア、イ、ウがすべて奇数になります。奇数は２回かけると奇数ですから、ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウも奇数になりますね。しかし2026は偶数ですから「＝」が成り立ちません。よって偶数は０個ではありません。

②　偶数が２個の場合
偶数は２回かけると４の倍数になり、奇数は２回かけると奇数ですから、ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウは４の倍数と４の倍数と奇数の和で奇数になりますね。
しかし2026は偶数ですから「＝」が成り立ちません。よって偶数は２個でもありません。

③　偶数が３個の場合
ア、イ、ウがすべて偶数になります。偶数は２回かけると４の倍数になりますから、ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウも４の倍数になりますね。しかし２０２６は４の倍数ではありませんから「＝」が成立しません。よって、偶数は３個でもありません。

④　偶数が１個の場合
ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウは４の倍数と奇数と奇数の和になります。
ここで、奇数を４でわった余りで分類すると、４でわって１または３余る数になりますね。
2026は４でわって２余る数ですから、ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウが４でわって２余る数になるためには、ア、イ、ウが偶数１つと４でわって１余る数が２つ、または偶数１つと４でわって３余る数が２つであればよいことになります。どちらにせよ、偶数の個数は１つであることがわかります。　

①～④より、偶数の個数は１つです。

(2)　３でわった余りで分類しよう

平方数を３でわった余りは０か１しかない。

ふつうの数を３でわった余りは０か１か２の３種類がありますね。
ところが、同じ数を２回かけた数（平方数）は３でわった余りは２種類しかありません。
元が３の倍数である数は２回かけると９の倍数（もちろん３の倍数でもあります）。
元が３でわって１余る数は２回かけると３でわって１余る数
元が３でわって２余る数も２回かけると３でわって１余る数になります。
よって平方数を３でわった余りは０か１しかないのです。
この性質を利用すると、2026は３でわって１余る数ですから、ア、イ、ウのうち、３の倍数が２つと、３でわって１余る数が１つでなければ成り立たないということがわかります。
よって、ア、イ、ウのうち、３の倍数は２つです。

ここでもう少し突っ込んで考えてみましょう。

2026は９でわると１余る数です。
ア、イ、ウのうち２つは３の倍数で、これらは２回かけると９の倍数になります。
ということは、残った１つの「３の倍数ではない数」を２回かけると、９でわった余りが１になる必要がありますね。この「３の倍数ではない数」を９でわった余りはいくつでしょうか。

９でわった余りは１～８ですから、１×１～８×８までを９でわった余り考えてみればわかりますね。さらに９でわった余りが３や６ならこれは３の倍数ですから、考える必要がありません。

１×１＝１、２×２＝４、４×４＝16、５×５＝25、７×７＝49、８×８＝64

このうち、９でわって１余る数は１×１と８×８だけです。すなわち、ア、イ、ウのうち、「３の倍数ではない数」とは、９でわって１か８余る数あることがわかるのです。

(3)　数の範囲を考えよう

ウは最も小さくていくつなのかを考えます。

ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウ＝2026　の式において、ア×ア、イ×イ、ウ×ウのうち、ウ×ウが一番大きいので、ウ×ウは2026÷３の商である675よりも大きくなりますね。
ここで、ウは偶数ですから、
　24×24＝576
　26×26＝676
より、ウは26以上であることがわかります。26は９でわって８余る数ですので、ウは26以上です。　

次にウが最大いくつになるかを考えます。

ウが最大になるためには、アとイができるだけ小さくなればよいですね。
アとイは２けたの奇数でのうち、３の倍数か、９でわって１または８余る数です。
これらを小さい順に書き上げていくと、

　15、17、19、21、……

となりますから、アとイは最も小さくて15と17

　2026－15×15－17×17＝1512

1512は1600より小さいですから、ウは40より小さいことがわかり、実は最も大きくて３６になります。
（ウは偶数で、40や38は３の倍数ではなく、９でわった余りが1でも8でもありません）
よって、ウとして考えられる数は26、28、30、36になります。

いよいよ大詰めです

ウの数で場合分けをして考えていきましょう。

①　ウが36の場合
ア×ア＋イ×イは730になります。
ア、イは奇数で片方は３の倍数、もう片方は９でわって１または８余る数です。
考えられるのは15、17、19、21、27、…

アを15とすると、15×15も730も５の倍数ですから、イも５の倍数にならなければなりません。15の次に当てはまる３６より小さい５の倍数はありませんから、アが15はあり得ません。

アとイのうち、一方は３の倍数で、もう一方は９でわって１または8余る数ですから、17と21、19と21…と調べていくと、実はすぐあてはまる組み合わせが見つかります。

　17×17＋21×21＝730

よって、（17，21，36）が見つかります。ウが36のときあてはまるのはこれだけです。

②　ウが30の場合

ア×ア＋イ×イは1126になります。
ア、イは奇数で片方は３の倍数、もう片方は９でわって１または８余る数です。
考えられるのは15、17、19、21、27、…
これらの数を２回かけた１の位を考えると、
15→５、17→９、19→１、21→１、27→９です。
1126の一の位は６ですから、アとイとして考えられるのは、15と19だけです。
（15と21はともに３の倍数になるので不適です）
しかし、15×15＋19×19は225と361の和ですから、1126にはなりません。
よって、ウは30ではありません。

③　ウが28の場合

ア×ア＋イ×イは1242となります。
アとイとして考えられるのは、15、17、19、21、27で、両方とも３の倍数ですから、
15、21、27のいずれかになります。これらの数を２回かけた１の位を考えると、
15→５、21→１、27→９です。
1242の一の位は２ですから、あてはまる組み合わせはありません。
よって、ウは28ではありません。

④　ウが２６の場合

ア×ア＋イ×イは1350となります。
ところがアとイはともに３の倍数で奇数ですから、考えられるのは、15と21しかありません。
しかし、15×15＋21×21は1350にはなりませんから、あてはまる組み合わせはありません。よって、ウは26ではありません。

結局あてはまるア、イ、ウの組は（17、21、36）しかありません。

いかがだったでしょうか。ちゃんと解くためにはかなり細かく調べなければなりません。
正解するのはけっこう大変です。しかし、「剰余で分類する」「大きさの範囲を絞る」といった大切な手法が身につく問題なのではないでしょうか。

この問題を５分くらいで解いた生徒がいた！

実は先日授業で時間が少し余ってしまったので、この問題の(3)だけを10人ほどの小学校５年生の生徒たちに出題しました。

　ア×ア＋イ×イ＋ウ×ウ＝2026　（ア＜イ＜ウ）

が成り立つ２けたの整数（ア,イ,ウ）の組を求めなさい。ただし、ウは偶数とします。

楽しそうだと思ったら次の授業までに解いてきてもらおうと思っていました。
すると、驚いたことに、１人の生徒が５分ほどで正解してしまったのです。

彼に解き方を聞いてみると、まず１の位に注目したそうです。

０×０～９×９の１の位は順に０、１、４，９，６，５，６，９，４，１で、2026の一の位が６なので、アとイとウの１の位は１、９、６かなと思い、45×45＝2025なので、ウが46はありえないので、ウを36にしてアとイを11、17、19、21などを調べていった……

という訳でラッキーなことに正解が見つかったという解き方ですし、これ以外ないという検証もしていないので、完全に正解とはいえないという見方もあるのですが、一の位というのは、10でわった余りですし、45×45を思い出して、大きさも絞っていますし、彼なりに考え、試行錯誤の計算をくりかえして正解したことに変わりありません。

ぜひこれ以外の組み合わせにも挑戦してみてください。

この問題、ア＜イ＜ウという条件だけなら、８通りの答えがあり、
すべて２けたの整数という条件をつけると今回の答を含めて４通りの答があります。
数の性質のいろいろな問題に応用できる手法が身につきますし、計算力や試行錯誤力なども鍛えられる問題になっています。チャレンジしてみても面白いかもしれません。

さらに発展的なパズルへもつなげていけそうです。もしよかったら挑戦してみてはいかがでしょうか。

著者プロフィール

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滝澤先生のこちらの連載もぜひどうぞ！